Repère barycentrique - Coordonnées barycentriques

Introduction

Proposition :
Soit $A,B,C$ trois points non alignés
Alors pour tout point $P$, il existe un unique triplet de poids normalisés $(\alpha,\beta,\gamma)$ tels que $$P=\alpha A+\beta B+\gamma C$$

(Système de poids normalisé)

Consigne: Soit $A,B,C$ trois points non alignés
Montrer que pour tout point $P$, il existe un unique triplet de poids normalisés $(\alpha,\beta,\gamma)$ tels que $$P=\alpha A+\beta B+\gamma C$$

$$\begin{align}&P=\alpha A+\beta B+\gamma C&&\quad\text{ avec }\quad\alpha+\beta+\gamma=1\\ \iff&P(1-\beta-\gamma)A+\beta B+\gamma C\\ \iff& P=A+\beta(-A+B)+\gamma(-A+C)\\ \iff&\underbrace{P-A}_{=\overrightarrow{AP}}=\beta\overrightarrow{AB}+\gamma\overrightarrow{AC}\end{align}$$

Comme $A,B,C$ sont non alignés, $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$ est une base de l'espace vectoriel ${\Bbb R}^2$ et $\forall P$, il existe des coordonnées uniques $(\beta,\gamma)$ de $\overrightarrow{AP}$ dans cette base
Ainsi pour tout $P$, il existe des uniques $(\alpha,\beta,\gamma)$ tels que $\alpha+\beta+\gamma=1$ tels que $$P+\alpha A+\beta B+\gamma C$$

(Base)

Remarque :
Chaque point d'un plan peut s'écrire comme un barycentre de trois points non alignés

Définition

Définition :
Étant donné $A,B,C$ trois points non alignés, on dit que $(A,B,C)$ est un repère barycentrique et que les poids (normalisés) $(\alpha:\beta:\gamma)$ tels que $P=\alpha A+\beta B+\gamma C$ sont les coordonnées barycentriques de $P$ dans cette base

(Repère - Repère affine, Système de poids normalisé, Coordonnées)

Propriétés

Dans un repère barycentrique, la somme de toutes les coordonnées d'un point est égale à $1$

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